Все Студенту - шпоры, доклады, рефераты, лабораторные, ргр

Студент, решение твоих заданий здесь!

4.1. Понятие устойчивости. Условия устойчивости линеаризованных систем

Одной из основных задач ТАУиР является изучение динамических процессов, происходящих в системах управления (регулирования). На любую автоматическую систему всегда действуют внешние возмущения, которые могут нарушить ее нормальную работу. Правильно спроектированная система должна устойчиво работать при всех внешних возмущениях. Устойчивость включает в себя требование затухания переходных процессов во времени. Очевидно, что система с расходящимся процессом будет неработоспособной.

В простейшем случае понятие устойчивости системы связанно с ее способностью возвращаться (с определенной точностью) в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Наглядно устойчивость равновесия иллюстрируется на рисунке 4.1, где изображен шар, лежащий в некотором углублении (рис 4.1,а), на выпуклой поверхности (рис 4.1 ,б), на плоскости (рис 4.1,в).

Рис. 4.1.

Положение равновесия шара характеризуется точкой А0. При отклонении шара в точку А1 он будет стремиться возвратиться к положению равновесия – в точку А2 (при наличии сил трения). Такое положение равновесия устойчиво. Случай, изображенный на рисунке 4.1,б) соответствует неустойчивому положению равновесия. Рисунок 4.1, в) соответствует безразличному равновесию.

На рисунке 4.1,г) состояние равновесия устойчиво лишь до тех пор, пока отклонение не вышло за некоторую границу, определяемую, например, точкой В. Выйдя за эту границу, шар уже не вернется в точку А0.

В общем случае, рассматривая линейные системы, вводят понятие устойчивости «в малом», «в большом» и «в целом». Система устойчива «в малом», если констатируют лишь факт наличия области устойчивости, но не определяют каким-либо образом ее границы.

Систему называют устойчивой «в большом», когда определены границы области устойчивости, т.е. определены границы области начальных отклонений, при которых система возвращается в исходное состояние, и выяснено, что реальные начальные отклонения принадлежат этой области. Когда система возвращается в исходное состояние при любых больших начальных отклонениях, систему называют устойчивой в целом.

Устойчивость «в целом» для определенного класса нелинейностей называют «абсолютной» устойчивостью.

Случай, изображенный на рисунке 4.1,а), соответствует устойчивости «в целом»; случай, изображенный на рисунке 4.1,г), может соответствовать либо устойчивости «в большом», либо устойчивости «в малом». Очевидно, что система, устойчивая «в целом», будет устойчива «в большом» и «в малом»; система, устойчивая «в большом», будет устойчива «в малом».

На рисунке 4.1,д) изображено еще одно принципиально возможное для нелинейных систем состояние равновесия, которое называют полуустойчивым.

Для определения устойчивости равновесия вводят понятие о невозмущенном состоянии равновесия (состояние покоя в точке А0) (рис 4.1,а) и возмущенном состоянии (точка А1).

Система будет устойчивой, если из возмущенного состояния она перейдет в некоторую заданную область, окружающую невозмущенное состояние равновесия, после того, как прекратила действие внешняя возмущающая сила.

Приведенное понятие устойчивости можно отнести к устойчивости установившегося режима работы системы.

САУ может работать в условиях непрерывно изменяющихся воздействий (следящие системы), когда установившийся режим отсутствует. Тогда можно дать более общее определение устойчивости САУ: САУ устойчива, если ее выходная величина y(t) остается ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.

Рассмотрим понятие устойчивости на случай движения некоторой системы.

Пусть заданное движение системы, называемое невозмущенным движением, определяется законом изменения независимых координат y10(t), y20(t),…,yn0(t). Это движение однозначно определяется начальными значениями координат при t=t0. Оно соответствует по аналогии случаю равновесного положения А0.

Выбор невозмущенного движения является произвольным. Это может быть любое возможное движение системы, как установившееся, так и неустановившееся. Внешние воздействия вызовут отклонение действительного движения системы от заданного. Его называют возмущенным движением, оно описывается независимыми координатами y1(t), y2(t), … ,yn(t). В общем случае , , … , .

Заданное невозмущенное движение будет устойчивым, если в результате приложения внешних сил (возмущений), которые затем снимаются, возмущенное движение по истечении некоторого времени войдет в заданную область , где - заданные малые величины, i=1,2, … ,n (отклонения координат от установившихся значений).

Геометрически невозмущенное (установившееся) движение yi0(t) системы n-го порядка можно представить условно в n-мерном пространстве с добавлением еще оси времени t (рис. 4.2) в виде некоторой кривой. Возмущенное движение yi(t), вызванное начальным отклонением при t=t0, изобразится другой кривой – yi(t) (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Рис. 4.3

В отклонениях , т.е. в пространстве координат состояния системы, картина возмущенного движения будет выглядеть как показано на рисунке 4.3.

Невозмущенное движение изобразится прямой линией, совпадающей с осью t.

Аналитическое определение понятия устойчивости по Ляпунову А.М. формулируется следующим образом.

Невозмущенное движение системы называется устойчивым, если при заданном, сколь угодно малом , существует такое , зависящие от , что при начальных условиях

в дальнейшем движении будет все время

В этом определении области d и e выглядят «прямоугольными» (в n‑мерном пространстве).

Если с течением времени

,

то невозмущенное движение системы будет асимптотически устойчивым.

Рассмотрим вопрос устойчивости линейных, а точнее линеаризованных систем управления.

Линейная система является идеализированной (приближенной) математической моделью реальной системы.

Справедливость замены нелинейных уравнений САУ уравнениями первого приближения путем отбрасывания малых нелинейностей (допустимость разложения функций в степенные ряды Тейлора) заранее неясна. Поэтому возникла задача исследования устойчивости решения уравнений первого приближения. Эту задачу решил А.М. Ляпунов.

Ляпунов сформулировал три теоремы об устойчивости по первому приближению:

1) Невозмущенное движение устойчиво независимо от вида малых нелинейностей, если все корни характеристического уравнения D(s)=0 имеют отрицательные вещественные части;

2) Невозмущенное движение неустойчиво независимо от вида малых нелинейностей, если хотя бы один корень характеристического уравнения D(s)=0 имеет положительную вещественную часть;

3) При наличии нулевых и чисто мнимых корней без специального исследования ничего нельзя сказать об устойчивости невозмущенного движения, это означает, что линейная система находится на границе устойчивости.

Покажем, как на основе изложенного выше определения устойчивости А. М. Ляпунова можно найти условия устойчивости линейных САУ.

Пусть задана структурная схема модели САУ в виде:

Рис. 4.4

Запишем дифференциальное уравнение движения этой САУ для управляемой величины y(t) при наличии задающего воздействия g(t) и равенстве нулю возмущения f(t):

. (4.1)

Коэффициенты а0, а1….аn, b0, b1, ….bm – постоянные величины, оператор . Уравнение движения системы может быть записано и для возмущающего воздействия f(t), в этом случае левая часть уравнения остается без изменения, а правая часть будет иметь иной вид.

Характер переходных процессов в системе определяется видом левой части дифференциального уравнения.

Процесс управления (регулирования) определяется решением дифференциального уравнения как сумма двух решений – общего решения без правой части и частного решения неоднородного уравнения:

y(t) = yобщ(t) + yчаст(t).

В случае yчаст(t)=const это будет установившееся значение. Слагаемое yобщ(t) называют переходной (свободной) составляющей yпер (t), а yчаст(t) – вынужденным решением yвын(t) .

Тогда y(t) = yпер (t)+ yвын(t).

Система будет называться асимптотически устойчивой, если при t→∞ переходная составляющая будет стремиться к нулю: yпер (t) →0.

Обычно в ТАУ интересуются устойчивостью вынужденной составляющей yвын(t) переходного процесса. Поэтому за невозмущенное движение системы необходимо принять вынужденную составляющую переходного процесса yвын(t). Тогда возмущенным движением будет любое возможное в системе изменение регулируемой величины y(t), а отклонением будет переходная (свободная) составляющая yпер (t)=y(t) - yвын(t).

Возмущениями по А. М. Ляпунову являются начальные значения yпер(t0) , которые возникли в момент t=t0 под действием внезапно подействовавших дополнительных внешних сил.

Найдем составляющую yпер (t) из дифференциального уравнения САУ без правой части

. (4.2)

Общее решение ищется в виде yn(t) = yобщ(t)= или , дифференцируя это выражение n раз и подставляя в (4.2), после сокращения на общий множитель получаем алгебраическое уравнение, называемое характеристическим уравнением

. (4.3)

Его корни S1 , S2 ,…, Sn будут определять характер переходного процесса в системе. Нетрудно заметить, что левая часть уравнения (4.3) по своему виду совпадает с дифференциальным оператором при выходной величине y(t) в уравнении (4.1). Поэтому характеристическое уравнение получают приравниванием к нулю левой части уравнения (4.1) и заменой оператора на комплексную переменную S. Постоянные интегрирования Сi в общем решении определяются из начальных условий .

Заметим, что корни характеристического уравнения Si зависят только от вида левой части дифференциального уравнения (4.1) линейной системы. Постоянные интегрирования Сi зависят и от вида правой его части. Поэтому быстрота затухания и форма переходного процесса определяются как левой, так и правой частями исходного дифференциального уравнения САУ (4.1). Однако, поскольку в понятие устойчивости входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса, то устойчивость линейной системы не зависит от вида правой части дифференциального уравнения (4.1) и определяется только характеристическим уравнением (4.3).

Чтобы определить устойчива система или нет, нет необходимости решать характеристическое уравнение и определять его корни.

Покажем, какие свойства корней необходимы и достаточны для того, чтобы система была устойчивой.

Корни характеристического уравнения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами могут быть вещественными, комплексными попарно-сопряженными, мнимыми попарно- сопряженными, нулевыми. В общем случае

.

Рассмотрим эти случаи.

1. Вещественный корень.

Если корень S1 отрицательный (S1=-α1), то слагаемое yпер(t)= представляет собой затухающую экспоненту при t→∞. При S1 = +α1 получим расходящийся процесс (рис. 4.5,а).

а) б)
в) г)

Рис. 4.5. Влияние корней характеристического уравнения

на переходный процесс в САУ

2. Комплексные корни. Бывают попарно сопряженными. При отрицательной вещественной части слагаемые, определяемые этими корнями в уравнении (4.2) могут быть представлены в виде

, (4.4)

где A и φ – новые постоянные интегрирования, ω – круговая частота затухающих колебаний, α – показатель затухания, определяющий затухание огибающей к кривой переходного процесса (рис. 4.4,б).

При положительной вещественной части колебания будут расходящимися (рис. 4.5,в).

3. Чисто мнимые корни. В этом случае

.

Слагаемое, определяемое этими корнями в (4.2), будет представлять собой незатухающие колебания, т.е.

. (4.5)

Такой процесс изображен на рис. 4.5, г).

Следовательно, для затухания переходного процесса (т.е. для устойчивости САУ) необходимо, чтобы вещественные части корней и вещественные корни были отрицательными.

Корни характеристического уравнения можно представить в виде точек на комплексной плоскости величины S (рис. 4.6).

Imaginaire (фр.) - мнимый

Reel (фр.) -действительный

Рис. 4.6. Плоскость корней характеристического уравнения

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Вся левая полуплоскость представляет собой область устойчивости. Мнимая ось ω плоскости корней является границей устойчивости системы. Выделяют три типа границ устойчивости, которые характеризуются соответственно:

1) нулевым корнем S1=0;

2) парой чисто мнимых корней S1,2=jω;

3) бесконечно удаленным корнем S1=¥;

В первом случае граница устойчивости называется апериодической. Это означает, что в характеристическом уравнении (4.3) отсутствует свободный член an=0. Дифференциальное уравнение (4.1) в этом случае может быть записано в виде

.

Система будет устойчивой относительно скорости изменения py(t), а отклонение регулируемой величины y(t) может принимать произвольные значения. Систему называют нейтрально устойчивой.

Во втором случае имеем колебательную границу устойчивости. Система имеет незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой (4.5,г).

В третьем случае вещественный корень может попасть из левой полуплоскости в правую проходя через бесконечность. В этом случае слагаемое в выражении (4.2) обращается в нуль. Это соответствует понижению порядка дифференциального уравнения на единицу. В этом случае а0=0.

Граница устойчивости третьего типа встречается редко.

Комментариев нет..
[ Добавить ] комментарий
Поля с пометкой * обязательны для заполнения

*Ваше имя
  Ваш сайт  
  Ваш город
*Ваше сообщение

Код подтверждения
*Код с картинки   @
код на картинке содержит только цифры (0..9) и буквы англ. алфавита (A..Z)